Sinau Matematika “Logika Matematika”

Last updated on 22 Agustus 2022

Hai sahabat matematika. Berjumpa lagi pada kesempatan yang berbahagia ini. yap benar kita berjumpa disini untuk belajar logika matematika.

Pengertian Logika Matematika

Logika berasal dari kata yunani kuno, yaitu logos yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Dalam komunikasi sehari-hari, logika mutlak diperlukan. Kalimat atau rangkaian kata-kata yang digunakan untuk kehidupan sehari-hari, baik formal maupun tidak formal, harus memiliki arti sehingga tujuan berkomunikasi tercapai. Kalimat logis atau masuk akal akan menjadikan komunikasi efektif. Dengan Logika, dapat dibuktikan kebenaran atau keabsahan suatu pernyataan . Dapatkah Anda bayangkan apa yang terjadi jika komunikasi dilakukan dengan kalimat atau pernyataan yang tidak didasari dengan logika?

Sebagai ilmu, logika disebut dengan logika episteme atau ilmu logika yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur. Pada postingan kali ini, akan dipelajari logika matematika, terutama sebahai keahlian shabat dalam mengambil kesimpulan suatu pernyataan benar atau sah.. lebih jauh lagi, logika matematika digunakan untuk pembuktian.

Kalimat Berarti dan Kalimat Terbuka

a. Kalimat berarti

Dalam komunikasi sehari-hari, baik formal maupun tidak formal, kalimat yang digunakan harus memiliki arti atau kalimat berarti sehingga maksud yang disampaikan dapat diterima dengan baik. Agar komunikasi menjadi efektif, sebaiknya kalimat yang diungkapkan adalah kalimat berarti yang lugas dan rasional. Tetapi ada kalanya seseorang menggunakan kalimat atau rangkaian kata-kata yang tidak memiliki arti dalam berkomunikasi, sehingga komunikasi tidak efektif. Contoh kalimat tersebut seperti berikut.

1. Bulan tersenyum di malam hari yang cerah.
2. Gunung Kelud murka samabil memuntahkan laharnya.

Kalimat berarti dalam penggunaannya pada logika matematika terbagi menjadi dua, yaitu

Kalimat deklaratif (pernyataan) adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah saja dan tidak keduanya pada saat yang sama.

contoh:

1. p: Semua bilangan prima adalah ganjil
2. q: Jumlah titik sudut dalam balok adalah 8
3. r: Lagu Indonesia Raya diciptakan oleh Kusbini
4. s: Jumlah hari pada bulan Mei adalah 31 hari
5. t: Jika , maka

Kalimat nondeklaratif adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya, dan biasanya berupa kalimat perintah, kalimat tanya, kalimat harapan, atau kalimat terbuka.

contoh:

1. Semoga Tuhan mengampuni dosa-dosa kita.
2. Berapakan jumlah SMK di Blora?
3. Pakailah masker bila bepergian.

b. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung peubah (variabel). Jika peubah tersebut diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan dihasilkan suatu pernyataan. Berikut adalah contoh kalimat terbuka:

1.

2. Patung itu adalah patung proklamator bangsa Indonesia

3.Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

1.Ingkaran (Negasi)

Perhatikan Pernyataan “Jakarta adalah ibu kota RI”. Bagaimana ingkaran dari pernyataan tersebut? Dengan mudah bisa dijawab “Jakarta bukan ibu kota RI” atau “Tidak benar Jakarta ibu kota RI”. Bila pernyataan awal bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah.

Ingkaran atau negasi dapat digunakan untuk menyangkal suatu pernyataan. Ingkaran (negasi) suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal sehingga nilai kebenaran berubah.

Ingkara pernyataan atau negasi dinyatakan dengan “~p“. Jika p suatu pernyataan bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

contoh:

1	p	:	Kuala Lumpur ibu kota Malaysia. (B)
	~p	:	Kuala Lumpur bukan ibu kota Malaysia (S)
	atau ~p	:	Tidak benar Kuala Lumpur ibu kota Malaysia (S)
2	q	:	Yusuf seorang manajer.
	~q	:	Yusuf bukan seorang manajer.
	atau ~q	:	Tidak benar Yusuf seorang manajer.
3	r	:	. (S)
	~r	:	. (B)
	atau ~r	:	Tidak benar bahwa

Berdasarkan definisi tersebut, dapat dibuat tabel nilai kebenaran untuk ingkaran (negasi) sebagai berikut:

p	~p
B	S
S	B

Untuk menentukan ingkaran yagn efektif dari pernyataan yang bervariasi, Anda dapat menggunakan tabel berikut:

Pernyataan	Negasi/Ingkaran
Semua ….	Ada/beberapa….tidak….
Ada/beberapa….	Semua ….tidak….
Sama dengan ()	Tidak sma dengan ()
Lebih dari	Kurang dari atau sama dengan
Lebih dari atau sama dengan	Kurang dari
Kurang dari	Lebih dari atau sama dengan
Kurang dari atau sama dengan	Lebih dari

Contoh:

Tentukan negasi dari pernyataan berikut:

a. Semua hewan berkaki empat.

b. Ada ikan yang bernafas dengan paru-paru.

c. Ada manusia yang tidak dapt hidup di daerah pegunungan.

d. Semua siswa SMK tidak dapat melanjutkan ke perguruan tinggi.

e.

Penyelesaian:

Negasi dari pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.

a. Ada hewan yang tidak berkaki empat.

b. Semua ikan tidak bernafas dengan paru-paru.

c. Semua manusia dapat hidup di daerah pegunungan.

d. Beberapa siswa SMK dapat melanjutkan ke perguruan tinggi.

e.

2. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari penggabungan beberapa pernyataan tunggal deng akata hubung kalimat tertentu, yaitu dan, atau, tetapi, jika, jika…maka…, …jika dan hanya jika…, dan sebagainya.

Dalam pelajaran logika (matematika), kata hubung kalimat diterjemahkan sebagai kata hubung logika, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

a. Konjungsi

Penggabungan dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan” membentuk sebuah kalimat majemuk disebut konjungsi.

Konjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan p dan q dengan menggunakan kata penghubung “dan“. Konjungsi dilambangkan dengan notasi ““. Jika p dan q adalah dua pernyataan, maka pq (dibaca: p dan q).

Berikut adalah beberapa contoh kalimat konjungsi.

1)	p	:	Saham adalah surat berharga.
	q	:	Saham diperjualbelikan dibursa efek.
		:	Saham adalah surat berharga dan diperjualbelikan dibursa efek
2)	p	:	Empat adalah bilangan komposit.
	q	:	Empat adalah bilangan ganjil.
		:	Empat adalah bilangan komposit dan bilangan ganjil.

Kata hubung “dan” dalam konjungsi dapat diganti dengan kata tetapi, sehingga, walaupun, maupun, dan kemudian selam artinya tetap sama. Suatu konjungsi tidak diharuskan adanya hubungan antara komponen-komponennya.

Nilai kebenaran konjungsi pernyataan p dan q bergantung pada nilai kebenaran pernyataan p dan q yaitu selalu mengikuti ketentuan konjungsi p q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, dalam hal lain bernilai salah. perhatikan tabel berikut:

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

contoh:

1)	p	:	Bulan April terdiri atas 30 hari (B)
	q	:	Musim hujan di Indonesia terjadi antar bulan Oktober hingga bulan April (B)
		:	Bulan April terdiri atas 30 hari dan Musim hujan di Indonesia terjadi antar bulan Oktober hingga bulan April (B)
2)	p	:	Persegi memiliki empat sisi (B)
	q	:	2+3=6 (S)
		:	Persegi memiliki empat sisi dan 2+3=6 (S)

b. Disjungsi

Konjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan p dan q dengan menggunakan kata penghubung “atau“. Konjungsi dilambangkan dengan notasi ““. Jika p dan q adalah dua pernyataan, maka (dibaca: p atau q)

Berikut adalah beberapa contoh kalimat disjungsi.

1)	p	:	Ponsel adalah alat komunikasi.
	q	:	Ponsel adalah alat transportasi.
		:	Ponsel adalah alat komunikasi atau transportasi.
2)	p	:	Dua garis yang sejajar mempumyai titik potong.
	q	:	6 merupakan bilangan irasional.
		:	Dua garis yang sejajar mempumyai titik potong atau 6 merupakan bilangan irasional.

Nilai kebenaran disjungsi dari dua pernyataan p dan q dapat dilihat pada tebel berikut:

p	q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

contoh:

1)	p	:	Ada 7 hari dalam satu minggu. (B)
	q	:	Jakarta adalah ibu kota Jawa Timur. (S)
		:	Ada 7 hari dalam satu minggu atau Jakarta adalah ibu kota Jawa Timur. (B)
2)	p	:	11 adalah bilangan genap. (S)
	q	:	Ada 13 bulan dalam satu tahun. (S)
		:	11 adalah bilangan genap atau Ada 13 bulan dalam satu tahun. (S)

c. Implikasi

Banyak pernyataan dalam komunikasi sehari-hari, tidak terkecuali dalam matematika, yang merupakan pernyataan bersyarat. Ciri utama pernyataan ini adalah berbentuk “jika … maka …”. Contohnya adalah sebagai berikut.

1) Jika kamu bekerja keras, maka kamu akan berhasil.

2) Andi akan lulus UN jika rajin belajar.

Pernyataan majemuk “jika p, maka q” yang dibentuk dari pernyataan p dan q disebut implikasi dan ditulis , Pernyataan dapat dibaca

• jika p, maka q
• p berimplikasi q
• q hanya jika p
• q jika p
• q asal saja p

erikut adalah beberapa contoh kalimat implikasi.

1)	p	:	Hari ini hujan.
	q	:	Setiap hari pada bulan April turun hujan.
		:	Jika Hari ini hujan, maka Setiap hari pada bulan April turun hujan.
2)	p	:	2 x 3 =6.
	q	:	11 adalah bilangan prima.
		:	Jika 2 x 3 =6, maka 11 adalah bilangan prima.

Tabel Nilai kebenaran Implikasi

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut.

1) Jika Indonesia negara maju, maka semua penduduknya sejahtera.

2) Jika ada hewan berkaki empat, maka ayam berkaki empat.

Penyelesian:

1)	p	:	Indonesia negara maju. (S)
	q	:	semua penduduknya sejahtera. (S)
		:	Jika Indonesia negara maju, maka semua penduduknya sejahtera. (B)
2)	p	:	Ada hewan berkaki empat. (B)
	q	:	Ayam berkaki empat. (S)
		:	Jika ada hewan berkaki empat, maka ayam berkaki empat. (S)

d. Biimplikasi

Selain pernyataan kondisional (implikasi), seringkali kita menemukan pernyataan majemuk yang menunjukkan dua peristiwa yang terjadi serentak. Dalam logika matematika, pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan dengan hubung “…jika dan hanya jika …” disebut biimplikasi. Biimplikasi yang dibentuk dari pernyataan p dan q ditulis . Pernyataan dibaca:

• p jika dan hanya jika q,
• jika p maka q dan jika q maka p.

Tabel nilai kebenaran biimplikasi.

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi berikut:

1) Manusia dapat hidup jika dan hanya jika ada oksigen.

2) Semua bilangan prima ganjil jika dan hanya jika 7 termasuk bilangan prima.

Penyelesaian:

1)	p	:	Manusia dapat hidup. (B)
	q	:	Ada oksigen. (B)
		:	Manusia dapat hidup jika dan hanya jika ada oksigen. (B)
2)	p	:	Semua bilangan prima ganjil. (S)
	q	:	7 termasuk bilangan prima. (B)
		:	Semua bilangan prima ganjil jika dan hanya jika 7 termasuk bilangan prima. (B)

Semoga bermanfaat, materi lanjutannya akan kami share pada postingan selanjutnya. Nantikan. Jangan lupa tinggalkan jejak. terima kasih