Sinau Matematika “Bentuk Akar”

salam sehat dan bahagia..

yuuk sinau matematika…

1. Definisi Bentuk Akar

Seperti yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya, bahwa $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$ . Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya memuat tidak terhingga banyaknya angka dibelakang koma dan tidak berulang.

contoh

$\sqrt{2}=1,414213$ …
$\sqrt{15}=3,872983$ …

Sementara itu, $\sqrt{1}$ , $\sqrt{4}$ , dan $\sqrt{64}$ bukan bentuk akar karena $\sqrt{1}=1$ , $\sqrt{4}=2$ , $\sqrt{64}=8$ . Bilangan 1, 2, dan 8 bukan bilangan irasional.

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara menhubah bilangan di dalam akar tersebut menjadi dua bilangan dengan bilangan yang satu dapat diakarkan sedangkan bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.

contoh

$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}$
$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$
$\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{5}=5\sqrt{5}$
$\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27\cdot 3}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{3}=3\sqrt[3]{3}$

3. Mengoperasikan Bentuk Akar

a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Dua bilangan bentuk akar dapat dujumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat menggunakan sifat berikut.

Untuk a, b bilangan real dan c bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan berikut.

$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$

$a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}$

contoh

$4\sqrt{5}+2\sqrt{5}=(4+2)\sqrt{5}=6\sqrt{5}$
$3\sqrt{6}+\sqrt{6}-5\sqrt{6}=(3+1-5)\sqrt{6}=-\sqrt{6}$
$\sqrt{2}+\sqrt{5}+6$ tidak dapat disederhanakan karena bentuk akarnya berlainan
$4\sqrt{5}+2\sqrt{3}-2\sqrt{5}+7\sqrt{3}=(4-2)\sqrt{5}+(2+7)\sqrt{3}=2\sqrt{5}+9\sqrt{3}$
$\sqrt{20}-\sqrt{500}+\sqrt{320}=2\sqrt{5}-10\sqrt{5}+8\sqrt{5}=0$
$\sqrt{28}-\sqrt{125}+\sqrt{63}-\sqrt{80}=2\sqrt{7}-5\sqrt{5}+3\sqrt{7}-4\sqrt{5}=-9\sqrt{5}+5\sqrt{7}$

b. Perkalian bilangan real dengan bentuk akar

Untuk perkalian bilangan real dengan bentuk akar, dapat menggunakan sifar berikut.

Untuk a, b bilangan real, dan c bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan berikut.

$a\cdot b\sqrt{c}=ab\sqrt{c}$

contoh

$6\cdot 3\sqrt{5}=18\sqrt{5}$
$2\cdot \sqrt{242}=2\cdot \sqrt{121\cdot 2}=2\cdot 11\sqrt{2}=22\sqrt{2}$
$8\cdot 0,5\sqrt{20}=4\sqrt{20}=4\cdot 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$
$3\cdot (4\sqrt{2}+\sqrt{162})=12\sqrt{2}+3\sqrt{162}=12\sqrt{2}+3\cdot 9\sqrt{2}=39\sqrt{2}$

c. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar

Untuk perkalian bentuk akar dengan bentuk akar, gunakan sifat berikut.

Untuk c, e bilangan real dan a, b, d, f bilangan rasional nonnegatif, berlaku sifat beriikut.

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ atau $c\sqrt{d}\cdot e\sqrt{f}=c\cdot e\sqrt{d\cdot f}$

contoh

$\sqrt{7}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{7\cdot 6}=\sqrt{42}$
$2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{12}=6\sqrt{24}=6\cdot 2\sqrt{6}=12\sqrt{6}$

d. Pembagian bentuk akar

Penyederhanaan pembagian bentuk akar sering disebut dengan merasionalkan penuebut bentuk pecahan. Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, bilangan tersebut dikalikan dengan sekawan dari penyebut. Untuk a, b bilangan rasional nonnegatif, maka berlaku:

$\sqrt{a}$ sekawan denga $\sqrt{a}$
$(a+\sqrt{b})$ sekawan dengan $(a-\sqrt{b})$
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ sekawan dengan $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

Perhatikan rasionalisasi bentuk-bentuk berikut.

1) Bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$

$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$

dengan a bilangan real dan b bilangan rasional nonnegatif, $b\neq 0$

contoh

$\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
$\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{10}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\sqrt{5}$
$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{2\cdot \sqrt{50}}{10}=\frac{2\cdot 5\sqrt{2}}{10}=\sqrt{2}$

2) Bentuk $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$

$\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}\cdot \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}$

dengan a, c bilangan real dan b bilangan rasional nonnegatif.

contoh

$\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\frac{2}{1+\sqrt{3}}\cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=\frac{2(1-\sqrt{3})}{1-3}=-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}$
$\frac{8}{5-\sqrt{17}}=\frac{8}{5-\sqrt{17}}\cdot \frac{5+\sqrt{17}}{5+\sqrt{17}}=\frac{8(5+\sqrt{17})}{5^{2}-17}=\frac{8(5+\sqrt{17})}{8}=5+\sqrt{17}$

3) Bentuk $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$

contoh

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

$=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}{3-2}$

$=\frac{3-2\sqrt{6}+2}{1}$

$=5-2\sqrt{6}$

4. Menyelesaikan Persamaan dalam Bentuk Pangkat (Pengayaan)

Persamaan dalam bentuk pangkat dapat deselesaikan dengan cara menyatakan ruas kiri dan kanan dalam bentuk eksponen/pangkat sehingga bilangan pokok kedua ruas tersebut sama. Jika bilangan pokok kedua ruas tersebut sudah sama, langkah berikutnya adalah menyamakan kedua eksponen.